유체역학(Fluid Mechanics)의 기초
- 편집팀
- 2월 16일
- 3분 분량
전단응력을 받을 때 저항하지 못하고 연속적으로 움직이는 물질, “유체(Fluid)”는 뉴턴, 베르누이, 오일러를 거쳐 나비에, 그리고 스토크스까지 뛰어난 학자들이 관심가지고 열심히 연구해온 분야이다. 현대 대부분의 물리학, 공학 분야의 필수 기초과목으로 자리매김하고 있으며, 과학 연구의 큰 비중을 차지하고 있기도 하다. 유체를 설명하는 “유체역학(Fluid Mechanics)”에서는 물리량 들의 엄밀한 정의와 변수 관계식, 그리고 해석 관점의 이해등이 가장 기본 토대가 되며 유체역학을 공부하는 과정에서의 필수코스이다. 본 기사에서는 유체역학에 관심있는 이들을 위한 “유체역학을 이해하는 방법, 그리고 간단한 배경지식”을 소개한다.
유체를 바라보는 시각: 오일러리안 해석
유체의 State, Motion을 서술하는 변수는 크게 R(지점), T(시간 or 운동)으로, 유체역학에서는 관찰할 지점은 고정해놓고, 그곳을 지나는 유체에 대해 질량, 운동량, 에너지 보존을 해석하는 “오일러 관점”을 이용한다. 또한, 오일러 관점을 이용하여 기존의 보존 법칙들을 다시 전개하게 된다. 에너지 보존법칙들은 연속방정식, 구성방정식,나비에-스토크스 방정식,열역학제1법칙 등으로 구체화되어서 나타나게 된다.나비에-스토크스 방정식은 운동량 보존의 법칙을 오일러 관점으로 유체에 적용한 것이다. 이는 우리가 친숙한 “라그랑지언 관점”과는 차이가 있다. 라그랑지언 관점은 관찰하는 시간에 따른 위치를 기술하기 때문이다. 예를 들어 라그랑지언 관점을 통해 중학교에서부터 배우는 기초적인 동역학에서 '평균 속력'을 기술하기 위해서는 물체 운동의 시작 시간과 종료 시간, 그리고 '그 두 시간의 물체의 위치'가 필요하다. 우리가 일반적으로 동역학이라고 부르는 바로 그것으로 이해하면 된다.반면 오일러 관점은 동역학이지만 정역학과 유사하다. 정상상태에 있는 유체의 흐름을 추적하기 때문이다. 만약 정상상태가 아니라고 가정하면 매우 어려워지며, 일반적으로 기초적인 수준에서는 공간에 따른 변화는 있어도 시간에 따른 변화는 없는 것으로 가정한다. 잘 이해가 가지 않는다면 투수가 야구공을 던졌을 때를 생각해보자. 야구공을 던졌을 땨, 야구공만 따라가면서 t1부터 t5에 대한 야구공 궤적을 추적한다고 생각해보면, 이는 라그랑지언 해석이 되며, 반대로, 어느 한 구간에 대해서 야구공의 흐름을 생각한다면 이는 오일러리안 해석이 된다.
Some Preliminary Ideas
보통 유체의 흐름은 Means of an expression으로 묘사한다. 아래 그림은 Point X와 시간 T에서의 흐름의 속도 u를 나타낸다.
이를 Caetesian Coordinates로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그리고 일반적으로, “Steady Flow(정상류)”를 가정한다. 정상류는 속도를 시간으로 편미분한 값이 0으로, “u depends on X alone”으로 정의 된다. 즉 쉽게 2차원에서의 기술을 얘기하면, 아래 두 식이 정상류의 특징을 잘 보여주고 있다.
식을 더 정리해보면, 3-D Flow에서의 정상유체의 흐름은 다음 식을 만족한다.
Rate of Change “Following the Fluid”
유체역학에서 “Fundamental importance”를 살펴본다. 일반적으로, 물리량이 함수 F(X,Y,Z,T 변수)로 나타내어 진다면, “round F over T”는 X,Y,Z의 변화가 없을 때, 즉 “Fixed Position”에서 T가 변할 때 F의 변화를 보는 식이다. 반면에, “DF over Dt” “The Rate of Change ‘Following the Fluid’”는 아래 그림과 같이 정의된다.
식을 조금 더 정리하면,
함수 F에 Velocity를 대입하면 다음 그림과 같은 유체의 운동을 기술하는 첫 번째 식을 유도할 수 있다.
이 식은 상당히 유용한데, 예를 들러 유체가 각속도 오메가로 단위 회전을 하고 있을 때, 정상류라고 가정하면 아래 그림과 같이 “Acceleration Omega square dot radius will be centrifugal A towards thr rotation Axis”를 유도 할 수 있다. 이는 우리가 회전 동역학에서 기존의 라그랑지언 관점으로 서술한 구심가속도의 식과 동일한 형태로 유도됨을 쉽게 눈치챌 수 있다.
Euler’s Equation of Motion
유체의 운동을 기술하는 두번째 방정식을 만나볼 차례이다. 다소 복잡할 수 있으나 결과를 이해하는 것 만으로도 가치있는 식이다. 먼저, Small dyed blob of fluid of Volume “del[V]”를 설정한다. 중력의 효과를 고려한 총 합력은 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
뉴턴의 운동방정식에 따라 합력은 질량과 가속도의 곱과 같아야 하며 가속도는 아래 그림과 같이 나타내어지기 떄문에...
다음과 같은 식을 유도할 수 있다!
이는 “Ideal Fluid”가 만족하는 기본 식으로, “Eular’s Equation”으로 잘 알려져 있다. 여기서 “Ideal Fluid”가 무엇인지 명확하게 짚고 넘어갈 필요가 있는데 엄밀하게는, 정지 좌표계의 밀도 ρ와 등방 압력 p로 완전히 특징지어지는 유체로, 엄밀하게 말하자면 응력-에너지 텐서의 대각행렬 표현으로 정의되는 물질이다. 아인슈타인의 우주 방정식에도 나오는 개념이므로 호기심이 간다면 찾아보는 것도 추천한다. 쉽게 이해해보면, “Steady” 정상 흐름, “Non-compressive” 비압축성 흐름, Non-viscocity 비점성 흐름, Non-curve 비회전 흐름을 모두 만족하는 유체라고 생각하면 된다. 이 모든 가정들이 유체역학에서의 식 전개와 의미 파악에 큰 도움을 주는 존재들이므로, 너무 조건이 까다롭다고 생각하지는 말자. 다시 본론으로 돌아와서, 조금의 유도과정을 더 거치다 보면 아래 그림과 같은 “Momentum Equation”도 유도할 수 있다! 그리고 이는 곧 유체역학의 두번째 핵심방정식, “Bernoulli Streamline Theorem”의 기반이 된다.
그래서 유체역학의 의미는 무엇인가?
유체의 State, Motion는 우리가 흔히 공부하던 고전 동역학의 라그랑지언 관점과는 다르게 유체의 특정 구간을 조사할 수 있으며, 이는 곧 “흐름” 자체의 상태를 파악하는데 도움을 준다는 것을 의미한다. 또한, 일반적으로 다루어 보지 않았을 “많은 입자들이 동시에 운동하는 계”를 설명하는 방식을 유체역학의 “Kinetic Theory”등을 배우며 직관적으로 이해할 수 있다. 무엇보다 필자가 생각하는 유체역학이 가지는 진정한 의미는 너무 공식을 사용하는 것에 치중되어 있는 우리의 물리 공부 방식에서 벗어나 “어떻게 하면 이런 흐름을 기술할 수 있을까?”, “이 식이 나타내는 물리학적 의미는 무엇일까?, “이런 수식적 형태는 어떤 상황에서 유도되는가?”, “변수 사이의 엄밀한 관계는 무엇일까?” 등의 근본적인 문제에 다가갈 수 있는 좋은 공부경험을 제공한다는 것에 있다고 생각한다. 그동안의 물리학에 “왜 이렇게 되는 것인가?”, “왜 다음과 같은 식을 세울 수 있는가?”, “엄밀하게는 성립하지 않는 식이 아닌가?”, “직관보다는 완전한 수학적 형태에 근거해서 물리학을 풀어낼 수 없을까?” 와 같은 질문을 품어온 학우들에게 유체역학을 한 번 맛보기를 강력하게 추천한다. 기존에 유체역학에 관시이 없었던 이들이라도 이번 기회에 유체역학이 무엇인지 느낌 정도는 알아갔으면 하는 바람이다. 긴 글 읽어주신 모든 분들께 감사드린다.
박정현 학생기자 | 물리지구 | 지식더하기
참고자료
첨부 이미지 출처
[1] Achedon_Elementary_Fluid_Dynamics-1
ⓒ KAIST부설 한국과학영재학교 온라인 과학매거진 KOSMOS
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