우리의 직관을 뒤엎은 물리현상, Chain fountain

사슬로 가득 찬 비커에서 사슬 끝 부분을 잡고 비커 밖에 나두면 어떻게 될까요? 직관적으로 생각하면 사슬과 비커의 가장자리가 접촉한 채로 비커가 빌 때까지 사슬이 밖으로 흘려내려야 할 것입니다. 하지만, 실제 현상은 이와는 조금 다릅니다. 사슬이 비커와 접촉한 채로 흘러내리는 것이 아니라 사슬이 위로 일정 높이까지 올라간 다음 곡선을 그리며 떨어지게 됩니다. 이 현상을 사슬이 위로 올라가는 것이 분수를 닮았다고 하여 사슬 분수(Chain fountain) 혹은 이 현상을 처음 발견한 유튜버 Mould의 이름을 따 Mould Effect라고 부릅니다.

*The Chain Fountain AKA The Mould Effect

기존 사슬 문제의 해석

여기서부터는 뉴턴의 제2법칙을 활용하여 위 현상을 조금 더 정량적으로 해석해보고자 합니다. 아래 [그림 1]에는 h1에 놓여 있던 사슬이 풀려 그 위로 높이 h2만큼 더 올라갔다가 바닥으로 떨어지는 모습을 도식도로 그려놓았습니다. 여기서 Tt는 테이블 바로 위에서 사슬의 장력, Tc는 꺾여있는 부분에서 사슬의 장력, Tf는 바닥 바로 위에서 사슬의 장력, v는 사슬의 속도를 의미합니다. 위 변수들에 더불어, u를 사슬의 길이 당 질량, 즉 선밀도로 정의하겠습니다.

*사슬 분수의 간단한 모델 도식도

우선, 꺾여있는 부분부터 해석해봅시다. 이 부분에서는 장력이 사슬의 구심력을 제공해주어야 합니다. 이를 수식으로 쓰면 다음과 같습니다.

*꺾여있는 부분에서 힘 평형

테이블 위의 사슬중 수직한 부분은 모두 일정한 속도로 움직이고 있으므로 Tc와 Tt 그리고 그 부분의 사슬에 작용하는 중력이 평형을 이루어야 합니다. 마찬가지로, 바닥 위의 사슬중 수직한 부분도 모두 일정한 속도로 움직이고 있으므로 Tc와 Tf 그리고 그 부분의 사슬에 작용하는 중력이 평형을 이루어야 합니다. 이를 수식으로 정리하면 다음의 두 식이 됩니다.

*테이블 위 수직 부분의 힘 평형(위), 바닥 위 수직 부분의 힘 평형(아래)

테이블 위를 보면 시간 dt 동안 질량 uvdt 만큼의 사슬이 움직이는 부분에 추가 되고 따라서, 질량에 속도 v를 곱한 uv^2dt 만큼의 운동량을 얻고 있습니다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 힘은 운동량의 미분과 같으므로 테이블 바로 위 사슬의 장력 Tt = uv^2입니다. 이를 [그림 3]의 첫 번째 수식에 대입하면 h2 = 0이 나오게 됩니다. 즉, 전통적인 해석으로는 사슬이 분수를 만들 수 없다는 것입니다.

*기존의 사슬 문제의 해석으로는 사슬 분수가 형성될 수 없다

사슬을 위로 띄우는 힘은 어디에서 오는가?

장력이 사슬을 위로 띄우는 힘을 만들어줄 수 없다면, 사슬을 분수처럼 위로 솟구치게 만드는 힘은 어디서 오는 걸까요? 오직 가능한 힘은 비커와 테이블로부터 받는 수직항력 R 입니다. 비슷한 논리로 바닥과 사슬 사이에도 0이 아닌 장력 Tf가 작용한다고 가정합시다. 이러한 힘들의 유래는 다음 절에서 논하기로 하고 운동방정식을 다시 세워보도록 합시다. 이때 Tt 와 R이 함께 작용해 정지상태에 있던 사슬을 속도 v 까지 가속시키게 됩니다. 더불어, R과 Tf의 차원이 힘이라는 점을 사용하면 [그림 5]처럼 alpha와 beta 두 개의 무 차원 상수를 사용하여 시스템을 표현할 수 있습니다.

*사슬이 테이블, 비커로부터 받는 수직항력 R, 사슬이 바닥과 충돌할 때 작용하는 장력 Tf

위 [그림 5]의 수식과 [그림 3]의 힘 평형 식 2개를 사용하여 연립방정식을 풀게 되면 다음 [그림 6]의 결과를 얻을 수 있게 됩니다. 여기서 기존의 사슬 해석처럼 alpha와 beta에 모두 0을 대입하면 사슬 분수가 생기지 않는다는 h2 = 0이라는 결과를 얻을 수 있게 됩니다. 또한, [그림 6]에서 보이는 것처럼 실제 실험 결과도 h2와 h1이 선형적으로 비례한다는 결과를 가르키고 있습니다.

*h1과 h2 사이의 관계, 사슬이 움직이는 속도 v, 실제 실험 결과

그럼 이제 마지막으로 사슬이 비커에서 탈출할 때 받는 수직항력 R의 유래에 대해서 살펴보아야 합니다. 이를 직관적으로 이해하기 위해 [그림 7]과 같이 사슬을 많은 수의 아주 작은 막대들이 줄로 연결되었다고 가정하겠습니다. 각각의 막대는 길이 b, 질량 m, 관성모멘트 I를 가지고 있습니다. 비커로부터 탈출하기 직전의 막대를 살펴보겠습니다. 이때 한쪽 끝에 장력 Tt가 작용하여 이 작은 막대를 위로 가속시키고 반시계방향으로 회전 가속시킵니다. 하지만, 아래 사슬로 꽉 채워진 바닥 때문에 자유롭게 회전할 수 없고, 그에 따라 접촉점에는 수직항력 R이 작용하게 됩니다.

*작은 막대들이 줄로 연결된 사슬의 모델, 각 막대들은 한 쪽 끝의 줄로부터 장력을 받아 회전하면서 위로 올라가게 되는데 이때 바닥의 존재로 접촉점에 수직항력 R이 작용

이를 정량적으로 해석하기 위해 [그림 8]처럼 가속 운동에서의 뉴턴 제 2법칙과 회전 운동에서의 뉴턴 제 2법칙을 사용하면 수직항력 R을 정량적으로 계산할 수 있습니다. 또한, 이를 바탕으로 alpha의 값도 계산할 수 있게 됩니다.

*사슬과 비커, 테이블 사이 수직항력 R의 정량적 분석

이를 공들이 연결된 사슬에 적용하기 위해서는 사슬에 연결된 각 공들이 따로 움직이는 것이 아닌 여러개씩 같이 튀어오른다는 점을 이용해야 합니다. [그림 9]와 같이 3개라고 가정하고 계산하면 alpha = 1/6, h2 = h1/5 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 이는 위에서 보았던 실험 결과의 기울기와 배수가 일치합니다.

느낀점

오늘은 사슬분수의 비밀에 대해서 알아보았다. 언뜻 보기엔 매우 비직관적인 현상이지만 이를 해결하기 위해 새로운 모델을 개발하고 기존에 존재하던 식에 여러 항들을 추가해가며 맞추어본 결과 실험 결과를 잘 설명할 수 있는 모델을 개발해 낼 수 있었다. 이러한 과정 속에서 사슬이 가속할 때 비커, 바닥으로부터 받는 추가적인 수직항력 또한 설명할 수 있게 되었다. 나는 사슬 분수를 사람들이 해결해 낸 방법처럼 새로운 물리 현상을 발견하고 그에 대한 합당한 이론을 만들어내는과정 속에서 새로운 물리학적 인사이트와 지식을 얻을 수 있는 거 같다.

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참고자료

[1] Understanding the chain fountain J. S. Biggins, M. Warner

[2] The Chain Fountain AKA The Mould Effect

https://www.youtube.com/watch?v=_dQJBBklpQQ

[3] 위키피디아 Chain fountain

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_fountain

첨부 이미지 출처

[1] Understanding the chain fountain J. S. Biggins, M. Warner

첨부 동영상 링크

[1] The Chain Fountain AKA The Mould Effect

https://www.youtube.com/watch?v=_dQJBBklpQQ

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작성자│홍석찬

발행호│2020년 여름호

키워드│#물리 #사슬문제 #역학 #chainfountain #Mouldeffect